Theorem dflb2s 92

Description: Reverse implication of biconditional definition.

Assertion

Ref	Expression
dflb2s	⊦ (((𝜑 ⊸ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)) ⊸ (𝜑 ⧟ 𝜓))

Proof of Theorem dflb2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-init 7	. . . . . 6 ⊦ (~ (𝜑 ⊸ 𝜓) ⅋ (𝜑 ⊸ 𝜓))
2	1	dfli1 63	. . . . 5 ⊦ (~ (𝜑 ⊸ 𝜓) ⅋ (~ 𝜑 ⅋ 𝜓))
3	2	dfli2i 66	. . . 4 ⊦ ((𝜑 ⊸ 𝜓) ⊸ (~ 𝜑 ⅋ 𝜓))
4	3	acm1s 84	. . 3 ⊦ (((𝜑 ⊸ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)) ⊸ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)))
5		ax-init 7	. . . . . 6 ⊦ (~ (𝜓 ⊸ 𝜑) ⅋ (𝜓 ⊸ 𝜑))
6	5	dfli1 63	. . . . 5 ⊦ (~ (𝜓 ⊸ 𝜑) ⅋ (~ 𝜓 ⅋ 𝜑))
7	6	dfli2i 66	. . . 4 ⊦ ((𝜓 ⊸ 𝜑) ⊸ (~ 𝜓 ⅋ 𝜑))
8	7	acm2s 85	. . 3 ⊦ (((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)) ⊸ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑)))
9	4, 8	syl 75	. 2 ⊦ (((𝜑 ⊸ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)) ⊸ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑)))
10		df-lb 56	. . . 4 ⊦ ((~ (𝜑 ⧟ 𝜓) ⅋ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑))) & (~ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑)) ⅋ (𝜑 ⧟ 𝜓)))
11	10	eac2i 40	. . 3 ⊦ (~ ((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑)) ⅋ (𝜑 ⧟ 𝜓))
12	11	dfli2i 66	. 2 ⊦ (((~ 𝜑 ⅋ 𝜓) & (~ 𝜓 ⅋ 𝜑)) ⊸ (𝜑 ⧟ 𝜓))
13	9, 12	syl 75	1 ⊦ (((𝜑 ⊸ 𝜓) & (𝜓 ⊸ 𝜑)) ⊸ (𝜑 ⧟ 𝜓))

Syntax hints:   ⅋ wmd 2  ~ wneg 3   & wac 30   ⧟ wlb 55   ⊸ wli 61

This theorem was proved from axioms:  ax-ibot 4  ax-ebot 5  ax-cut 6  ax-init 7  ax-mdco 8  ax-mdas 9  ax-iac 32  ax-eac1 33  ax-eac2 34

This theorem depends on definitions:  df-lb 56  df-li 62

This theorem is referenced by:  dflb  93