Theorem mcco 115

Description: ⊗ is commutative. TODO extract double negation theorems, licon 94 alternate forms

Assertion

Ref	Expression
mcco	⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ (𝜓 ⊗ 𝜑))

Proof of Theorem mcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnis 78	. . 3 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓))
2		ax-mdco 8	. . . . . 6 ⊦ (~ (~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑) ⅋ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓))
3	2	dfli2i 66	. . . . 5 ⊦ ((~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑) ⊸ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓))
4		dnis 78	. . . . . 6 ⊦ ((~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓) ⊸ ~ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓))
5		id 77	. . . . . . . 8 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ (𝜑 ⊗ 𝜓))
6		df-mc 106	. . . . . . . 8 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⧟ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓))
7	5, 6	lb1s 67	. . . . . . 7 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓))
8		licon 94	. . . . . . 7 ⊦ (((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓)) ⊸ (~ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓) ⊸ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓)))
9	7, 8	lmp 76	. . . . . 6 ⊦ (~ ~ (~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓) ⊸ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓))
10	4, 9	syl 75	. . . . 5 ⊦ ((~ 𝜑 ⅋ ~ 𝜓) ⊸ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓))
11	3, 10	syl 75	. . . 4 ⊦ ((~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑) ⊸ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓))
12		licon 94	. . . 4 ⊦ (((~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑) ⊸ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓)) ⊸ (~ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ (~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑)))
13	11, 12	lmp 76	. . 3 ⊦ (~ ~ (𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ (~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑))
14	1, 13	syl 75	. 2 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ ~ (~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑))
15		df-mc 106	. 2 ⊦ ((𝜓 ⊗ 𝜑) ⧟ ~ (~ 𝜓 ⅋ ~ 𝜑))
16	14, 15	lb2s 68	1 ⊦ ((𝜑 ⊗ 𝜓) ⊸ (𝜓 ⊗ 𝜑))

Syntax hints:   ⅋ wmd 2  ~ wneg 3   ⊸ wli 61   ⊗ wmc 105

This theorem was proved from axioms:  ax-ibot 4  ax-ebot 5  ax-cut 6  ax-init 7  ax-mdco 8  ax-mdas 9  ax-eac1 33  ax-eac2 34

This theorem depends on definitions:  df-lb 56  df-li 62  df-mc 106

This theorem is referenced by:  mccob  116